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Análisis Matemático 66

2025 CABANA

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 4 - Estudio de funciones

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4.1. Realizar el análisis completo de las siguientes funciones ff definidas por y=f(x)y=f(x) teniendo en cuenta:
- Dominio e Imagen;
- Asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas;
- Extremos locales y puntos silla;
- Intervalos de crecimiento y decrecimiento;
- Graficar.
ñ) f(x)=11−x2f(x)=\frac{1}{1-x^{2}}

Respuesta

Vamos a hacer un análisis completo de la función f(x)=11−x2f(x)=\frac{1}{1-x^{2}} siguiendo la estructura que vimos en las clases de Estudio de funciones\textbf{Estudio de funciones}: 1)\textbf{1)} Identificamos el dominio de f(x)f(x)

En este caso fijate que tenemos que pedir que 1−x2≠01-x^{2} \neq 0. Es decir, x≠−1x \neq -1 y x≠1x \neq 1. 

Por lo tanto, el dominio de ff es R−{−1,1}\mathbb{R} -\{-1,1\}.

2)\textbf{2)} Estudiamos la existencia de asíntotas verticales, horizontales y oblicuas

- Asíntotas verticales: Como el dominio es R−{−1,1}\mathbb{R} -\{-1,1\}, entonces x=−1x=-1 y x=1x=1 son candidatos a asíntota vertical. Calculamos los límites cuando xx tiende a cada uno:

Para x=−1 x = -1 : lim⁡x→(−1)+11−x2=+∞ \lim_{x \to (-1)^+} \frac{1}{1-x^2} = +\infty lim⁡x→(−1)−11−x2=−∞ \lim_{x \to (-1)^-} \frac{1}{1-x^2} = -\infty Para x=1 x = 1 : lim⁡x→1+11−x2=−∞ \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{1-x^2} = -\infty lim⁡x→1−11−x2=+∞ \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{1-x^2} = +\infty Por lo tanto hay asíntotas verticales en x=−1 x = -1 y x=1 x = 1 . - Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando xx tiende a ±∞\pm \infty lim⁡x→+∞11−x2=0 \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{1-x^2} = 0 lim⁡x→−∞11−x2=0 \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{1-x^2} = 0

Por lo tanto, hay una asíntota horizontal en y=0 y = 0 .

3)\textbf{3)} Calculamos f′(x) f'(x) :

f′(x)=2x(1−x2)2 f'(x) = \frac{2x}{(1-x^2)^2}

4)\textbf{4)} Igualamos f′(x) f'(x) a cero para obtener los "puntos críticos", nuestros candidatos a máximos y mínimos:

2x(1−x2)2=0 \frac{2x}{(1-x^2)^2} = 0
2x=0 2x = 0 Por lo tanto, el único punto crítico es x=0 x = 0 .

5)\textbf{5)} Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que f′(x)f'(x) es continua y no tiene raíces:

- (−∞,−1) (-\infty, -1) - (−1,0) (-1, 0) - (0,1) (0, 1) - (1,+∞) (1, +\infty)

6)\textbf{6)} Evaluamos el signo de f′(x) f'(x) en cada uno de los intervalos:

- Para x x en (−∞,−1) (-\infty, -1) , la derivada f′(x) f'(x) es negativa, y por lo tanto f(x) f(x) es decreciente - Para x x en (−1,0) (-1, 0) , la derivada f′(x) f'(x) es negativa, y por lo tanto f(x) f(x) es decreciente - Para x x en (0,1) (0, 1) , la derivada f′(x) f'(x) es positiva, y por lo tanto f(x) f(x) es creciente  - Para x x en (1,+∞) (1, +\infty) , la derivada f′(x) f'(x) es positiva, y por lo tanto f(x) f(x) es creciente

Con toda la información que tenemos ya podemos graficar f(x)f(x). Te dejo acá abajo el gráfico hecho en GeoGebra.

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ExaComunidad
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Matias
29 de abril 16:38
flor, en las asintotas verticales, en este caso tomas a 1, y a -1, osea que yo para las av tengo que tomar esos valores que la funcion nunca toca, a lo que me refiero es que si tengo un dominio que sea, pj de [2,+infinito), ese 2 no va a ser candidato xq pertenece?
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Flor
PROFE
29 de abril 22:19
@Matias Exacto! Si vos tenés dominios donde hay puntos aislados que no pertenecen, como en este caso que es R−{−1,1}\mathbb{R} -\{-1,1\}, entonces x=1x=1 y x=−1x=-1 son candidatos a asíntota vertical. 

Ahora, si tenés por ejemplo un dominio que es (2,+∞)(2, +\infty), x=2x=2 es candidato a asíntota vertical porque está en el borde y no pertenece al dominio. En cambio, como bien vos decís, si el dominio sería [2,+∞)[2, +\infty), en ese caso la función está definida en x=2x=2 y ahí seguro no hay asíntota :)
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Matias
30 de abril 13:06
excelente, gracias
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