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@Matias Exacto! Si vos tenés dominios donde hay puntos aislados que no pertenecen, como en este caso que es $\mathbb{R} -\{-1,1\}$, entonces $x=1$ y $x=-1$ son candidatos a asíntota vertical.
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excelente, gracias
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Análisis Matemático 66
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CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
4.1.
Realizar el análisis completo de las siguientes funciones $f$ definidas por $y=f(x)$ teniendo en cuenta:
ñ) $f(x)=\frac{1}{1-x^{2}}$
- Dominio e Imagen;
- Asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas;
- Extremos locales y puntos silla;
- Intervalos de crecimiento y decrecimiento;
- Graficar.
ñ) $f(x)=\frac{1}{1-x^{2}}$
Respuesta
Vamos a hacer un análisis completo de la función $f(x)=\frac{1}{1-x^{2}}$ siguiendo la estructura que vimos en las clases de $\textbf{Estudio de funciones}$:
$\textbf{1)}$ Identificamos el dominio de $f(x)$
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En este caso fijate que tenemos que pedir que $1-x^{2} \neq 0$. Es decir, $x \neq -1$ y $x \neq 1$.
Por lo tanto, el dominio de $f$ es $\mathbb{R} -\{-1,1\}$.
$\textbf{2)}$ Estudiamos la existencia de asíntotas verticales, horizontales y oblicuas
- Asíntotas verticales: Como el dominio es $\mathbb{R} -\{-1,1\}$, entonces $x=-1$ y $x=1$ son candidatos a asíntota vertical. Calculamos los límites cuando $x$ tiende a cada uno:
Para \( x = -1 \):
$ \lim_{x \to (-1)^+} \frac{1}{1-x^2} = +\infty $
$ \lim_{x \to (-1)^-} \frac{1}{1-x^2} = -\infty $
Para \( x = 1 \):
$ \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{1-x^2} = -\infty $
$ \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{1-x^2} = +\infty $
Por lo tanto hay asíntotas verticales en \( x = -1 \) y \( x = 1 \).
- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$
$ \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{1-x^2} = 0 $
$ \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{1-x^2} = 0 $
Por lo tanto, hay una asíntota horizontal en \( y = 0 \).
$\textbf{3)}$ Calculamos \( f'(x) \):
\( f'(x) = \frac{2x}{(1-x^2)^2} \)
$\textbf{4)}$ Igualamos \( f'(x) \) a cero para obtener los "puntos críticos", nuestros candidatos a máximos y mínimos:
\( \frac{2x}{(1-x^2)^2} = 0 \)
\( 2x = 0 \)
Por lo tanto, el único punto crítico es \( x = 0 \).
$\textbf{5)}$ Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:
- \( (-\infty, -1) \)
- \( (-1, 0) \)
- \( (0, 1) \)
- \( (1, +\infty) \)
$\textbf{6)}$ Evaluamos el signo de \( f'(x) \) en cada uno de los intervalos:
- Para \( x \) en \( (-\infty, -1) \), la derivada \( f'(x) \) es negativa, y por lo tanto \( f(x) \) es decreciente
- Para \( x \) en \( (-1, 0) \), la derivada \( f'(x) \) es negativa, y por lo tanto \( f(x) \) es decreciente
- Para \( x \) en \( (0, 1) \), la derivada \( f'(x) \) es positiva, y por lo tanto \( f(x) \) es creciente
- Para \( x \) en \( (1, +\infty) \), la derivada \( f'(x) \) es positiva, y por lo tanto \( f(x) \) es creciente
Con toda la información que tenemos ya podemos graficar $f(x)$. Te dejo acá abajo el gráfico hecho en GeoGebra.
![2024-02-07%2020:14:56_4384082.png](https://exapuni.s3.sa-east-1.amazonaws.com/img_practices/2024-02-07%2020:14:56_4384082.png)
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Matias
29 de abril 16:38
flor, en las asintotas verticales, en este caso tomas a 1, y a -1, osea que yo para las av tengo que tomar esos valores que la funcion nunca toca, a lo que me refiero es que si tengo un dominio que sea, pj de [2,+infinito), ese 2 no va a ser candidato xq pertenece?
![](/img/profile-pictures/user-63225.jpg)
Flor
PROFE
29 de abril 22:19
Ahora, si tenés por ejemplo un dominio que es $(2, +\infty)$, $x=2$ es candidato a asíntota vertical porque está en el borde y no pertenece al dominio. En cambio, como bien vos decís, si el dominio sería $[2, +\infty)$, en ese caso la función está definida en $x=2$ y ahí seguro no hay asíntota :)
![](/img/profile.png)
Matias
30 de abril 13:06